Erdős Problems：一座仍在生长的数学问题档案馆，以及尚无证明的完整清单
数学史上很少有人像保罗·埃尔德什（Paul Erdős，1913—1996）那样热衷于提问题。他把问题写进论文、问题集和私人通信，也常在问题后面放上 10 美元、100 美元乃至 1 万美元的奖金。对他来说，一道好题并不只是等待打钩的任务：它可以暴露一个领域真正的障碍，也可能逼出一套此前不存在的方法。
Erdős Problems 想做的，就是把这些散落几十年、跨越大量文献的问题整理到同一处。它既像目录，也像持续更新的研究地图：每道题有统一编号、简洁陈述、原始出处、进展说明、参考文献、主题标签和讨论区，还可以按状态、奖金、文献或关键词检索。
截至 2026 年 7 月 28 日，网站首页显示：数据库共有 1217 道题，其中 565 道已解决，652 道仍标为 open。不过，“open”和“没有 proof”看似简单，实际至少有三套不同含义。本文先介绍网站，再把口径拆开，最后给出一份可复核的完整编号清单。
先说结论：若把“完全没有解决、也没有已记录的形式化解答”严格定义为社区数据库中的
informal_status: open且formal_status: unformalized，当前共有 607 道。另有 53 道仍未得到通常意义的结论，但已被归入有限可判定、可证伪、可验证或 ZFC 独立性等更精细的状态。网站自身的二元标签则是 652 道 OPEN；两套数据存在少量状态更新与分类差异，不能直接互换。
一、这个网站从哪里来
网站由英国数学家 Thomas Bloom 创建。Bloom 在回顾文章中写道，项目于 2023 年 3 月底开始搭建，2023 年 5 月 28 日正式上线；最初只有 200 多道题。促使他动手的，是一个研究者很实际的烦恼：翻到 Erdős 的旧论文时，很难迅速知道某个问题究竟仍然开放、早已在冷门论文中解决，还是已经发展成另一个领域里的著名定理。1
这个工程从一开始就不可能靠一次整理“完成”。Erdős 发表过 1500 多篇论文，还有大量问题散落在信件与合著文章里。网站 FAQ 明确说，它不是 Erdős 所有问题的全集，目标也带有策展者的主观判断：优先收录能独立陈述、足够有趣、出现在专门问题集里，或有奖金记录的问题。少数条目也不是 Erdős 首创，而是他喜欢、反复传播的问题，页面会尽量注明原作者。2
截至本文成稿，网站的“Problem Lists”页面列出了 147 份 Erdős 问题文献，其中只有 65 份被标为已经完整核查。换言之，1217 不是 Erdős 一生所提问题的总数，而是当前已经编入这个项目的数量。3
二、它不只是一张未解题名单
随便打开一道题，例如 第 3 题，可以看到几层信息：
- 一句尽量简洁的数学陈述。 Bloom 有时会重写原文，使问题更容易解析，但保留底部的原始文献入口；
- OPEN / SOLVED 状态。 以及某些题目的有限可计算性质；
- 历史奖金。 这是 Erdős 曾经给问题估的价值，不是网站承诺付款；
- remarks 与参考文献。 这里通常比“答案”更有价值，因为它展示已知上界、下界、特殊情形和几十年的推进路线；
- 标签与检索。 数论、图论、Ramsey 理论、距离问题、素数、超图等主题可以交叉浏览；
- 论坛与状态历史。 研究者可以补文献、讨论思路、声明正在研究某题，并追踪页面何时由 OPEN 改成 SOLVED；
- 随机题目与编号区间。 适合浏览，也方便一次打开一批题。
2025 年，Bloom 与 Terence Tao 又建立了公开的 Erdős problem database，用一份 YAML 文件维护每道题的细状态、Lean 形式化和 OEIS 链接，并自动生成可筛选表格。这个仓库不是主站的简单镜像，而是一层社区维护的数据基础设施。Tao 将它描述为一个“公民数学”项目：即使不能证明猜想，参与者也可以计算相关整数序列、在 OEIS 中寻找匹配、补充文献或形式化陈述。4
三、OPEN、solved 与 proof 到底分别是什么意思
这是使用网站时最容易踩坑的地方。
1. solved 不等于“猜想被证明为真”
公开数据库把已经结束的问题分成三类：
proved：命题被证明为真；disproved：找到反例或证明命题为假；solved：以其他方式得到满意解决，例如题目不是简单的是非问句，或多部分问题出现了混合答案。
所以“反例推翻猜想”同样是 solved。一道题也可能因为原问题表述含糊、结论依赖公理体系，或已归约为有限计算，而不能塞进最朴素的“有证明 / 没证明”二分法。
2. statement formalized 不等于 solution formalized
数据库同时记录两个看起来很像、实则完全不同的字段：
- statement formalized：只是把题目准确翻译成 Lean，让证明助手知道“要证明什么”；
- solution formalized：已经有一份 Lean 可以检查的解答证明。
当前有 509 道题的陈述进入了 Lean 的 Formal Conjectures Repository，但只有 206 道题的解答被记录为已在 Lean 中形式化。甚至可能出现 open (Lean)：机器检查通过了一份解答，但人类数学家还没有完成消化与确认，因此非形式化状态暂时保留为 open。公开数据库的 字段说明 专门解释了这种情况。5
3. 网站的 OPEN 是“当前掌握到的状态”
主站在每一道开放问题下面都放着警告：open 反映的是站主当前的判断，可能存在尚未发现或尚未录入的文献。FAQ 更直接地说，数据库并非完全最新；在投入大量时间解题前，应当自己做文献检索。2
首页的 “OPEN → SOLVED” 日期也只是网站修改标签的日期，不是数学上真正解决问题的日期。某个证明可能早在几十年前就已发表，只是最近才被数据库发现。
四、2026 年 7 月 28 日的状态总表
下面的数据来自当日 07:39 UTC 的公开数据库提交 2e7e7a6，并与同日主站的完整 OPEN 区间核对。6
| 口径 | 数量 | 含义 |
|---|---|---|
| 主站 SOLVED | 565 | 主站当前二元标签为已解决 |
| 主站 OPEN | 652 | 主站当前二元标签为开放 |
社区数据库 proved | 330 | 命题被证明 |
社区数据库 disproved | 132 | 命题被证伪 |
社区数据库 solved | 94 | 以其他方式解决 |
社区数据库 open | 608 | 未归入有限性或公理独立性等特殊状态 |
| 特殊未决状态 | 53 | 27 可证伪、7 可验证、9 可判定、3 不可证、4 不可证伪、3 独立 |
| 有 Lean 解答 | 206 | 形式化的是解答，而不只是题目陈述 |
| 有 Lean 陈述 | 509 | 只说明题目已被机器可读地表达 |
为什么 330 + 132 + 94 = 556，不是主站的 565？为什么社区数据里 608 + 53 = 661 个“开放或特殊未决”，又不是 652？这是两个数据源的更新时间与语义不同造成的。逐条比对可以看到：
- 社区数据库把 7 个有限可判定问题和 3 个 ZFC 独立问题放在特殊状态，而主站已把它们计入 SOLVED；
- 第 469 题在社区数据中已是
proved (Lean)，主站当前仍显示 OPEN； - 另有一个不影响上述总数差、却关系到“有没有 proof”的边界案例：第 1112 题是
open (Lean)，已有形式化解答，但尚未被人类状态完全吸收。
前两项共 11 条交叉差异，恰好解释了总数偏移。第 1112 题则说明，即使两个数据源都写着 open，“没有被社区接受的人类证明”与“完全不存在机器检查过的证明”仍可能是两件事。如果目标是找题研究，不能只下载一次编号清单；应打开题目页，检查最新讨论，再做独立文献检索。
五、哪些才算“完全没有 solved，也没有 proof”
为了让问题可回答，我采用一个可机械复核的严格口径：
informal_status = open
且
formal_status = unformalized
这表示社区数据库既没有把问题归为 proved、disproved 或 solved，也没有记录一份 Lean 解答；同时排除已经知道可由有限搜索裁决、或涉及 ZFC 可证性边界的特殊状态。结果是 607 道，约占全部 1217 道题的 49.9%。
这 607 道题里，仍有 307 道已经完成了 Lean 陈述形式化。再次强调：这只代表“题目已精确输入”，并不代表“证明已经存在”。
领域分布
标签可以重叠，例如一道题可以同时属于数论、加法组合与等差数列。按出现次数看，607 道严格开放问题中最常见的标签是：
| 标签 | 问题数 |
|---|---|
| 数论 | 316 |
| 图论 | 122 |
| Ramsey 理论 | 60 |
| 几何 | 55 |
| 加法组合 | 48 |
| 素数 | 43 |
| 距离问题 | 33 |
| 分析 | 27 |
| 染色数 | 27 |
| 集合论 | 21 |
其中 53 道仍挂有奖金记录。金额最高的是 第 142 题：求无 $k$ 项等差数列集合最大规模 $r_k(N)$ 的渐近公式，页面记录的奖金为 1 万美元；其次是奖金 5000 美元的 第 3 题。网站只负责记录奖金，不负责支付；目前 Erdős 奖金由 Combinatorics Foundation 管理，通常要求解答先在可信期刊发表，并提供 Erdős 确实许诺该金额的文件。2
十个有代表性的入口
下面不是“最容易的十题”，也不是难度排名，只是帮助读者看见这 607 道题有多么不同。
| 编号 | 问题轮廓 | 页面奖金 |
|---|---|---|
| #1 | 互不相同子集和的集合，是否必有 $N\gg 2^n$；Erdős 称之为自己“或许第一个严肃的问题” | 500 美元 |
| #3 | 倒数和发散的整数集合，是否必含任意长等差数列 | 5000 美元 |
| #20 | 向日葵猜想：固定 $k$ 时，$n$-一致集合族的阈值能否压到 $c_k^n$ | 1000 美元 |
| #28 | Erdős–Turán 加法基猜想：二元表示数能否始终有界 | 500 美元 |
| #52 | 整数集合的和集与积集，是否至少一个几乎达到平方规模 | 250 美元 |
| #61 | Erdős–Hajnal 猜想：禁掉固定诱导子图后，齐性点集能否达到多项式规模 | 无 |
| #77 | 对角 Ramsey 数 $R(k)$ 的指数增长率极限是否存在、等于多少 | 250 美元7 |
| #89 | 平面上 $n$ 个点能否总确定 $\gg n/\sqrt{\log n}$ 种不同距离 | 500 美元 |
| #120 | 任意无限实数集是否都存在一个正测度集合，避开它的所有仿射副本 | 100 美元 |
| #571 / #713 | 二部图 Turán 数能出现哪些增长指数，这些指数是否必为有理数 | 无 / 500 美元 |
这里也能看出“网站上的 Erdős problem”不必由 Erdős 首创。例如 第 1135 题是 Collatz 猜想；页面明确说明它不是 Erdős 提出的，只因他曾讨论并评价过它而被收录。
六、607 道严格开放、无已记录 Lean 解答的问题编号
以下是提交 2e7e7a6 的静态快照。连续三个以上的编号用短横线压缩，例如“9–12”表示 9、10、11、12 均在清单中。把编号 n 接到 https://www.erdosproblems.com/n 后即可打开题目。想查看随数据库更新的版本，可使用实时筛选表；想查看主站自己的全部 652 个 OPEN 条目，可打开主站 OPEN 区间。
展开 607 道题的完整编号快照
- 1–100：1、3、5、9–12、14、15、17、18、20、25、28、30、32、33、36、39–41、44、50–52、60–62、65、66、68、70、74、75、77、78、80–82、84–87、89、91、96、98–100
- 101–200：101–104、108、111、112、117、120、122、124、126、129–132、137、138、141–143、145、146、148、149、151、153、155、156、158–162、165、168–170、172–174、176、177、180、181、183、184、187、188、193、195–197、200
- 201–300：201、203、208、212、213、217、218、222、233、234、236、238、241、243、244、247、249、251、252、254、256、257、260、261、263–265、267、269、271–274、276、278、279、282、288、289、291、293、295
- 301–400：301、302、304、306、311–313、317、319、322–327、329、332、334–336、338、340–342、345、346、348、349、352、354、357、359、361、365、367、368、371、373、374、376、377、382、383、385、386、388–390、393、394、396、400
- 401–500：404、406、408–417、420–425、428、430–432、436、445、450–452、454–456、460–463、467、468、470、472、477–479、483、486、489、495、500
- 501–600：501、503、507–510、513、514、517、520–522、524、528–531、535、536、538、539、544、545、550、552、554、555、557、558、560–564、566–569、571–573、575、576、579、584、585、588、589、592、593、595–598、600
- 601–700：601、602、604、609、611、612、614、616、620、623–627、629、634、635、638、640、642–644、653–655、657、660–663、665、667–671、675–677、679–681、683–689、691、693、695、700
- 701–800：701、704、706、708–714、719、724–727、730、731、734、738、740、749、757、761、766、768–770、773、774、776、778、782、786–792、796
- 801–900：802、805、809–813、817、819–821、824、826–831、836–840、849、850、852–857、859、860、864、866、870、872、873、875、876、878、879、881、883、885–887、889–893
- 901–1000：901、902、906、911–913、917–919、928–936、938–940、942–945、949–956、959、961–963、968–973、975、976、978、979、983、985、995、996
- 1001–1100：1002–1005、1011、1013、1016、1017、1029、1030、1032、1033、1035、1038–1040、1045、1049、1052–1057、1059–1063、1065、1066、1068、1070、1072–1075、1083–1088、1093–1095、1097、1100
- 1101–1200：1101、1103、1104、1106–1111、1113、1117、1120、1122、1131–1133、1135、1137、1139、1142–1146、1150–1152、1155–1160、1162、1163、1167、1168、1170–1173、1175、1177、1178、1181–1184、1186、1188、1189、1191、1192、1194、1199、1200
- 1201–1217：1201、1203、1204、1206–1210、1212
七、另外 53 道：仍未结束，但不宜叫“完全开放”
下面这些题没有被社区数据库归为 proved、disproved 或 solved，也都没有记录 Lean 解答；但它们已经具有比普通 open 更强的逻辑或计算结构。
| 状态 | 数量 | 含义 | 编号 |
|---|---|---|---|
falsifiable | 27 | 若命题为假，可由有限反例证伪 | 23、64、97、106、107、114、128、167、242、287、375、398、458、488、548、583、617、628、699、723、743、779、982、993、1020、1041、1082 |
verifiable | 7 | 若命题为真，可由有限例证验证 | 7、307、364、366、647、672、835 |
decidable | 9 | 已归约为有限计算，原则上真伪都能由计算裁决 | 19、475、506、547、551、556、580、742、848 |
not provable | 3 | 存在命题为假的 ZFC 模型，因此不能从 ZFC 证明 | 474、736、739 |
not disprovable | 4 | 存在命题为真的 ZFC 模型，因此不能从 ZFC 证伪 | 1154、1169、1174、1176 |
independent | 3 | 已知独立于 ZFC | 1119、1123、1127 |
这张表也解释了为什么“没有 proof”不是一个足够精确的数据库字段。独立性证明本身当然是一份深刻的证明，只是它证明的不是原命题为真或为假，而是常用公理体系无法决定它。
八、怎样正确使用这份清单
第一，先读 remarks，再读原始文献。 网站为了可读性会压缩或改写问题，真正研究时必须回到页面底部列出的 Erdős 原文与后续论文。
第二，把 OPEN 当成检索起点，不当成权威认证。 先搜 MathSciNet、zbMATH、Google Scholar、arXiv 和题目评论区。某些所谓“新证明”最后只是重新发现一个旧结果；反过来，数据库也可能尚未注意到刚发表的进展。
第三，区分解决原题与推进界。 很多页面已经积累了极强的部分结果。没有达到 Erdős 最初要求，不代表几十年的研究“什么都没证明”。第 89 题的不同距离问题就是典型：Guth 与 Katz 已把下界推进到 $\gg n/\log n$，但页面要求的 $\gg n/\sqrt{\log n}$ 仍未达到。
第四，奖金不是难度的线性刻度。 Erdős 给价并不总是一致，网站在有歧义时记录找到的最高报价。有些低奖金问题极难，有些高奖金问题的价值则来自它可能打开一整套新方法。
第五，如果发现更新，就反馈给社区。 主站接受题目评论与邮件补充，公开数据库接受 pull request。这个项目最有价值的部分，恰恰不是某一天冻结的统计数字，而是数学家、形式化研究者和计算实验者不断纠错的过程。
九、这座档案馆真正记录的是什么
Erdős Problems 表面上在记录 1217 个问题的状态，深一层却在记录数学知识如何变化：一个猜想可能先被证明特殊情形，再被改善常数，随后找到反例，最后由 Lean 检查；也可能早已解决，只是答案沉在一篇没人注意的论文里。数据库中的每一次状态变化，都带着文献发现、同行核查与定义澄清。
因此，652 个 OPEN 不是“人类失败了 652 次”，607 个完全开放问题也不是一张可以直接喂给模型的排行榜。它们是 607 个仍缺少关键观念的入口。Erdős 喜欢把问题分成容易入口的“棉花糖”和可能长出新理论的“橡子”；真正困难的是，在答案出现以前，没有人确切知道手里拿着哪一种。
-
Thomas Bloom, A new blog and a site retrospective，2026 年 1 月 19 日；其中说明网站于 2023 年 5 月 28 日正式上线，并回顾了项目动机与论坛发展。 ↩
-
Erdős Problems, FAQ，访问于 2026 年 7 月 28 日。FAQ 同时说明数据库并非保证最新、并不收录全部 Erdős 问题，以及奖金的记录与兑付方式。 ↩ ↩2 ↩3
-
Erdős Problems, Problem Lists，访问于 2026 年 7 月 28 日。 ↩
-
Terence Tao, A crowdsourced project to link up erdosproblems.com to the OEIS，2025 年 8 月 31 日。 ↩
-
teorth/erdosproblems, CONTRIBUTING.md：状态字段定义，快照提交2e7e7a6。 ↩ -
teorth/erdosproblems, README 统计与完整表格及作为数据真源的data/problems.yaml，提交时间为 2026 年 7 月 28 日 07:39 UTC。 ↩ -
第 77 题页面正文还记录：Erdős 曾为“证明极限不存在”开出 1 万美元，但把这称为玩笑，因为他确信极限存在；页面标题栏当前显示的常规奖金是 250 美元。 ↩
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